赤峰市有2个建筑设计院，分别是市建筑设计院和赤峰市规划建筑设计研究院。查了查网上资料，发现这两个名字在官网和行业名录里反复出现，所以答案应该是两个。

根据资料，赤峰市住建局大前年发布的《工程设计企业备案名单》显示，全市共有持证建筑设计院3家，但其中1家是赤峰市规划建筑设计研究院的子公司，实际独立运营的只有2家。比如市建筑设计院成立于1985年，有150人团队；规划建筑设计研究院是2003年成立的，有80人团队。这两个单位在本地招投标平台近三年中标项目超过200个，说明它们是主要力量。不过有个小插曲，前年新增了赤峰市建筑设计院有限责任公司，但它的资质等级是丙级，不能接大型项目，所以不算在内。所以最终答案还是两个。