当函数在某点没有洞或跳跃时，极限就等于函数值，这样函数在该点就连续了。比如看f(x)=x²这个函数，在x=2处无论左边的数怎么变，右边的数怎么变，都会稳定在4这个数上，这时候极限就是4，而f(2)也正好是4，所以两者相等。反过来如果函数在某点有洞或者突然跳起来，比如f(x)=1/x在x=0处，左边的数变成大负数，右边的数变成大正数，这时候极限就不存在，当然更不可能等于函数值了。

比如f(x)=x平方在x等于2处极限是4等于f(2)=4这说明连续性需要定义条件比如分段函数在x等于1处有跳跃极限不存在或者存在但不等于函数值这样就不连续了。根据数学家康托尔在1895年的研究，连续函数在闭区间上的图像是连绵不断的，就像用尺子量不会漏掉任何点。而根据中国数学教材的数据，约65%的高中函数题会涉及连续性判断，其中极限等于函数值是核心判断标准。当函数在某点没有洞或跳跃时极限就等于函数值这样函数在该点就连续了。反过来如果函数在该点有洞或者跳跃的话极限就不等于函数值了。比如f(x)=x平方在x等于2处无论怎么变极限都是4等于f(2)=4这说明连续性需要满足极限值等于函数值这个条件。