求收敛半径就是找幂级数能无限延伸的最远距离。比如给定x的n次方乘以某个系数a_n的级数，先看系数a_n的变化规律，用根值法算系数的n次根再取极限，或者用比值法算前后项系数比值的极限，取倒数就是收敛半径R。比如系数是1/2^n的级数，用根值法算1/2的n次根取极限是1/2，R就是2；用比值法算1/2^n除以1/2^{n+1}等于2，R也是2。两种方法都能得出相同结果。

比如用根值法，先算系数的n次根，取极限倒数得R；用比值法算相邻系数比值的绝对值极限的倒数也是R。比如系数是1/2^n，根值法算(1/2^n)^(1/n)=1/2，取倒数R=2；比值法算(1/2^n)/(1/2^{n+1})=2，取倒数R=2。两种方法都得到R=2，说明收敛半径是2。所以不管系数怎么变，只要算极限就能确定级数的收敛范围。比如系数是1/n!的级数，根值法算(1/n!)^(1/n)趋近于1/e，R=e；比值法算1/n!除以1/(n+1)!=(n+1)趋近无穷大，R=无穷大。这说明方法正确。要记住，当极限不存在时，根值法还能用上确界，而比值法可能失效。所以先看系数有没有明显规律，再选。