求收敛半径就像找故事里数到几就断的绳子头。用根号法的话，先拿系数开平方再取倒数，比如级数∑anxn，算lim sup |an|½的倒数就是半径。用比值法的话，算后项比前项的绝对值极限，比如∑anxn，算lim |an+1/an|的倒数，这个数就是半径。两种方法都像在数台阶，根号法数的是最陡台阶，比值法数的是平均台阶高度。

为啥是这个答案呢？先说根号法，数学家柯西在1821年发现，系数绝对值最大的点附近级数会发散，所以用上界极限找最坏情况。比如级数∑(1/2^n)xn，系数是1/2^n，开平方得1/2^(n/2)，n趋向无穷时极限是0，倒数就是无穷大，说明收敛半径无限。再比如级数∑n!xn，系数是n!，开平方后n!½增长很快，倒数趋向0，半径就是0。比值法的话，达朗贝尔在1849年提出，相邻项比值反映变化速度。比如级数∑(1/n!)xn，后项比前项是1/(n+1)，极限0，倒数无穷大，半径无穷。级数∑n^n xn，比值是(n+1)^n/n^n，约等于e，倒数1/e，半径就是e。两种方法都像测跑道的宽度，根号法测最宽处，比值法测平均速度。