最近学统计学的时候发现个疑问，为什么计算样本方差要用n-1除数而不用n？这个问题让我有点困惑。原来老师讲过无偏估计，但具体怎么来的还没想明白。举个例子吧，如果有三个数2、4、6，算总体方差用平方差平均的话结果是4，但如果是样本方差的话得用(2²+4²+6²-12)/2=10，结果明显不一样。这时候才明白n-1是为了让样本方差的平均值更接近真实总体方差。

为什么必须用n-1呢？其实这跟自由度有关。当我们用样本均值代替总体均值时，相当于把数据分成均值和偏离均值两部分。比如三个数算均值后，每个数都和均值有关系，这时候自由度就少了一个。数学上可以证明，如果用n做分母，样本方差的期望会比总体方差小一个单位。比如用三个数算样本方差，当n=3时，(Σ(x_i - x̄)²)/3的期望是(2/3)σ²，而用n-1=2做分母的话，期望正好是σ²。这就解释了为什么必须用n-1才能保证无偏性。再比如有100个数据点，用99做分母调整后的方差会更准确，因为每次用样本均值替代都会消耗一个自由度。这种调整方法在统计学里叫Bessel校正，是处理估计偏差的经典方法。