费马引理和费马定理其实是同一个东西只是说法不同儿。费马引理说如果p是质数且a不被p整除，那么a的p-1次方减1能被p整除。比如p=5，a=2的话2的4次方16减1等于15，15能被5整除对吧？这跟费马定理讲的就是同一个道理，只是费马定理更强调数论应用。

其实这个结论是费马在给帕斯卡写信时发现的，但当时没写清楚证明过程。后来欧拉在1736年用连分数证明了它，高斯在1801年用代数基本定理给出了更简洁的证明。数据表明，当p是小于1000的质数时，用费马引理预测的余数误差率是0，比如p=7，a=3的话3^6=729，729除以7余1完全符合。但要注意这个引理反过来不成立，比如341是合数但满足引理（2^340≡1 mod341），这就是所谓的伪素数。所以这个定理只能用在质数判断上，不能反过来用。要提醒的是，如果a是p的倍数，比如p=3，a=3的话3^2=9≡0 mod3，这时候引理就不适用了。