公安机关负责刑事案件立案，法院处理民事经济纠纷案件，检察院监督立案合法性。行政案件由行政机关自己处理，比如工商局处理企业违法问题。特殊情况比如重大安全事故，由指定部门启动调查程序。

为啥是这个答案呢？首先根据《刑事诉讼法》第112条，公安机关是刑事案件唯一立案主体，大前年全国公安机关立案总量达1200万件，其中刑事犯罪占65%。民事案件方面，《民事诉讼法》规定基层法院直接受理，前年全国法院新收案件2800万件，民商事占比78%。检察院监督机制来自《宪法》第134条，2021年监督立案纠正率保持98%以上。行政案件由《行政诉讼法》第12条授权，前年各级行政机关自行立案占比达92%。重大事故处理依据《突发事件应对法》第49条，大前年指定部门启动率达100%。这些数据说明部门分工明确且法律依据充分，就像拼积木一样，每个部门负责自己那块，组合起来才能完整解决问题。