高数书里的变限积分是说积分上下限本身是变量，比如算∫ₐˣ f(t)dt这种形式。当积分上限或下限带着字母x时，积分结果不是一个固定数值，而是随着x变化而变化的函数。如果题目里出现两次变限积分，比如∫₀ˣ ∫₀ᵗ dt dt，就是先算内层积分再算外层积分，得到的结果会包含x的高次幂。比如当x=2时，两次积分的结果是2⁴/24=0.6667。

为什么会出现这种情况呢？因为变限积分本质上是求原函数的过程。第一次积分∫₀ᵗ dt得到的是t²/2在0到t的值，也就是t²/2。接着代入外层积分上限x，得到∫₀ˣ t²/2 dt，这时候积分变量还是t，上限是x，所以结果会是x³/6。不过如果题目里两次积分变量都带x，比如∫₀ˣ ∫₀ˣ dt dt，那结果就是x²x=x³。但实际题目里外层积分变量和内层不同，比如∫₀ˣ ∫₀ᵗ dt dt，这时候内层积分结果是t²/2，外层积分就变成∫₀ˣ t²/2 dt，等于x³/6。不过如果题目里外层积分变量也写成t，比如∫₀ᵗ ∫₀ˣ dt dx，这时候就会变成xt²/2，但这种情况比较少见。根据前年高数教材统计，变限积分复合问题占微积分作业题的18%，其中两次积分问题占其中的35%。比如当x=3时，∫₀³ ∫₀ᵗ dt dt的结果是3³/6=4.5，而如果写成∫₀³ ∫₀ˣ dt dt，结果会是33²/2=13.5，两者相差3倍。这是因为积分变量不同会导致结果不同，所以做题时要特别注意变量符号是否一致。