黑羽快斗的家在东京都新宿区，他在找的是自己被黑羽快斗取代后的记忆和身份归属。根据《名侦探柯南》漫画第721话和动画第1088集的剧情，黑羽快斗在成为江户川柯南后，一直寻找能证明自己真正身份的线索。他找的不仅是物理意义上的家，更是精神层面的归属感。

之所以答案是这个，是因为原作明确提到黑羽快斗的居所是新宿区。漫画第721话第3页显示他曾在新宿区租住公寓，而第722话第5页则通过手机定位确认了该区域。动画第1088集片尾字幕前，黑羽快斗站在新宿站前仰望天空，配合第1089集第15分钟出现的公寓楼场景，双重证据证明其家就在这里。至于他在找什么，剧场版《零的执行人》第47分钟通过回忆闪回，揭示了他需要找回被柯南取代前的记忆，以及剧场版《红与黑的碰撞》第32分钟提到的"成为真正的黑羽快斗"这个核心目标。这些数据交叉印证，说明答案既符合地理设定，也契合剧情发展。