求函数的收敛半径主要分两步走。第一步得先写出幂级数的一般形式，比如Σaₙ(x-a)ⁿ。第二步要选根值法或比值法中的一个，根值法就是算系数aₙ的绝对值开n次方的极限，取倒数就是半径R；比值法则是算后项与前项的绝对值比值的极限，取倒数也是R。比如算1+ x/1! + x²/2! +x³/3!...这个级数，用比值法算lim(n→∞)|aₙ+1/aₙ|=0，所以R=∞，说明收敛范围全实数轴。

为什么这样算呢？因为收敛半径本质是找级数从收敛变发散的临界点。根值法对应柯西判别法，通过控制项的模值增长，比如设|x-a|<1/lim sup |aₙ|¹/ⁿ就收敛。比值法源自达朗贝尔判别法，通过相邻项比值判断级数趋势。比如算1+x+x²+x³...这个级数，用比值法算lim|1/(1-1)|=1，所以R=1，刚好在|x|<1时收敛。数据上，当n趋向无穷时，系数aₙ=1/n!的根值会趋近0，比值也是0，所以R都是无穷大。但像aₙ=1/n时，根值lim(1/n)¹/ⁿ=1，比值lim(n/(n+1))=1，R=1。这说明两种方法本质都盯着系数衰减速度，只是计算角度不同。