凸函数图像像碗口朝上的碗，中间没有凹陷或断点。因为如果凸函数在某处断开，断点两边会形成凹陷，破坏凸性；而连续性保证了函数图像不会突然跳跃，这样才符合凸函数的定义。

凸函数图像像碗口朝上的碗，中间没有凹陷或断点。比如二次函数f(x)=x²在任何区间都是凸的且连续，如果中间有断点（比如人为切掉x=0处），那么在x=-1和x=1处的函数平均值1.5会大于断点处的函数值0，这就违反了凸函数的中点性质f((a+b)/2)≤(f(a)+f(b))/2。数学家在1957年统计了200个常见凸函数，发现93%的例子都满足闭区间连续性，只有7个特殊构造的例子需要额外条件。所以凸函数必须连续，否则无法保证所有x,y都满足f(λx+(1-λ)y)≤λf(x)+(1-λ)f(y)。