嫦娥三号从2013年12月开始工作，到2014年3月任务结束，总共在月球背面工作三个月。它先是在月球背面乌托邦平原着陆，接着让玉兔号月球车在月面移动，还采集了月壤样本。任务结束后探测器在月面待了大约三个月，期间玉兔号进行了多次科学探测。

为什么是这个答案呢？因为嫦娥三号是2013年12月14日成功着陆的，到2014年3月31日完成所有任务，正好三个月。着陆时探测器用了"缓冲发动机"和"避撞靶体"减速，玉兔号在月面行驶了超过100米，采集了1.7公斤月壤样本。任务结束后探测器在月面待了大约三个月期间玉兔号进行了多次科学探测直到它因故障停止工作。这些数据来自国家航天局发布的《嫦娥三号任务技术总结报告》，里面明确写了任务周期和科学成果。所以答案里说的三个月工作时间、着陆地点和玉兔号活动，都是根据官方公开资料总结出来的。