泰勒展开得限定领域才能用多项式逼近函数。就像用温度计测温度，只能在它标注的度数范围内准，超过这个范围就读不准了。多项式就像温度计的刻度，只能在某个点附近近似原函数，越偏离原点误差就越大。比如计算sinx在x=0附近用1-0.5x²就能很准，但x超过π/2时误差就明显了。

因为泰勒展开要保证多项式和原函数在某个区间内无限接近，所以必须限定领域。比如用x=0处的泰勒展开计算sinx，当x=π/2时误差约1.4%，但x=3π/2时误差突然变成100%以上。数学证明显示多项式余项和(x-a)^n成正比，当|x-a|超过某个值，余项就会失控。比如用前两项近似e^x，当x=5时误差超过300%，而x=2时误差还不到1%。这就说明领域限制是避免近似失效的关键，就像温度计不能随便测超高温物体一样。