判断二次型正定主要看三种定理：顺序主子式全正、特征值全正、合同标准形全正。比如矩阵A的各阶左上角子矩阵行列式都大于零，或者算出所有特征值都是正数，或者能变成全正数的平方和形式，这三个条件满足其一就行。举个例子，3阶矩阵如果顺序主子式都大于零，那它的二次型肯定正定，就像目里给的例子那样。

为什么是这个答案呢？先说顺序主子式，它就像搭积木，一层层验证是否每部分都稳固。比如2阶矩阵的a>0且ad-b²>0，就保证二次型在任意方向都不小于零。特征值全正是最直观的，因为二次型可以想象成弹簧，正定就是弹簧永远被拉长不缩短。合同标准形相当于把二次型变形，比如x²+2xy+3y²可以变成4z₁²+5z₂²+6z₃²，只要系数全正就行。数据上，算特征值时用矩阵A的行列式det(A-λI)=0，解出λ全正才成立。比如3阶矩阵的三个特征值分别是2、3、4，就符合正定条件。但要注意顺序主子式有个隐藏前提，必须是左上角连续子矩阵，不能随便挑。比如矩阵

[1 2 3

2 1 4

3 4 5]

它的顺序主子式是1，1-4=-3，行列式是负的，所以不是正定。这说明顺序主子式必须逐层全正，不能跳过中间步骤。合同标准形的话，用配方法或初等变换，像把交叉项2xy配成(x+y)²-y²，再继续处理剩下的项，所有平方项系数都正才算行。这三个定理互相印证，就像里同时给出三个条件，选任何一个都对就行。但要注意顺序主子式在阶数高的时候计算麻烦，特征值需要解高次方程，而合同标准形可能需要多次变换，所以实际应用选最方便的。