想象三维坐标系里画个z等于x乘y的曲面，当x或y固定时，比如x等于1，图形就变成z等于y的直线；但换个角度切这个曲面，比如用斜平面y等于z，这时候方程变成z平方等于x，这就是双曲线啦。反过来看-yz等于1这个式子，当y或z固定时，比如y等于2，方程就变成z等于负二分之一，是条平行直线；但要是用平面y+z等于常数来切，方程会变成xy等于负二分之一，这时候在三维空间里就是双曲线形状的交叉线。

为什么说这两个式子一个是双曲面一个是双曲线呢？先看z等于xy这个式子，它属于双曲抛物面，因为当用不同方向的平面切割时，会得到双曲线或抛物线。比如用平面x等于常数切割，得到的是z等于常数乘y的直线；而用平面y等于z切割，方程变成z平方等于x，这时候在x-z平面上就是开口向右的双曲线。数据上可以验证，当x=2时z=2y，这是一条斜直线；当y=1时z=x，同样是斜直线；但当用平面y=z切割时，方程z²=x，在x-z平面上横坐标是z²，纵坐标是z，这明显是双曲线的参数方程。再来看-yz等于1，这个式子属于双曲抛物面的一种变形。当用平面y等于常数切割时，得到z等于负二分之一，是条水平直线；用平面z等于常数切割，得到y等于负二分之一，是条垂直直线。但用平面y+z等于常数切割时，比如y+z=2，代入原式得- y(2-y)=1，展开后得到y²-2y-1=0，解得y=1±√2，这时候在y-z平面上就是两条竖直线，但结合三维空间中的x坐标，实际是双曲线的分支。比如当y=1+√2时，z=2-y=1-√2，这时候x可以是任意值，所以在三维空间里形成沿着x轴平移的双曲线。这两个式子虽然都是双曲面，但切割方式不同导致出现的曲线类型不同，就像用不同角度的刀切西瓜，有的切出月牙（双曲线），有的切出平面（直线），而整个西瓜就是双曲面。