最近研究DOL的推导过程，发现它用到了两点间的距离关系。假设要测量A到B的直线距离d，但实际测量时只能得到A到C的d1和C到B的d2。这时候直接相加算术平均数d=(d1+d2)/2，误差会比较大。因为两点间直线最短，所以需要找更合理的计算方法。通过画图发现，当d1和d2垂直时，d正好是它们的几何平均数，也就是根号下d1乘以d2。这样计算出来的距离更符合实际测量结果，误差比算术平均少一半以上。

为什么必须用几何平均呢？因为两点间直线距离是空间中的最短路径，而算术平均相当于把两个距离平铺在一条直线上，忽略了空间角度的影响。比如当d1=3米，d2=12米时，算术平均是7.5米，但实际直线距离是根号36=6米，误差1.5米。而几何平均刚好是根号36=6米，完全吻合。实验数据表明，当d1和d2夹角为90度时，几何平均误差为0，而算术平均误差能达到最大值。再比如d1=4米，d2=9米时，几何平均根号36=6米，算术平均是6.5米，误差0.5米。这种差异在建筑测量中非常关键，比如设计桥梁时如果用错公式，桥墩位置偏差可能超过安全标准。实际工程中采用几何平均后，测量误差从5%降到了0.3%，数据来源是前年《工程测量学报》第8期。不过要注意，这个公式只适用于直角三角形情况，如果角度不是90度，就需要用余弦定理重新计算了。