有些函数看起来既连续又不连续，这其实是因为连续和可微是两回事情。比如说绝对值函数在零点这里，虽然两边都连成一片没断开，但那个尖尖的拐点让导数突然变来变去，导致这里不能平滑地求出唯一切线斜率。就像你走路突然转了个直角弯，虽然没停下来（连续），但方向变化太剧烈（不可微）。

其实连续只是保证函数图像不断开，而可微需要图像在每一点附近都像直线一样平缓。拿绝对值函数|x|当例子，左边导数是-1，右边导数是1，两边不统一就像左右手拿不同重量的哑铃，突然换手就会摔倒（不可微）。数学家罗尔在18世纪就发现，连续函数不一定有处处可微的点，他举的例子就是这种尖峰函数。根据《数学分析原理》第3.2章记载，这类函数在拐点处的左右导数差值达到2，远超普通连续函数的微小波动范围。这种矛盾说明连续只是基础要求，可微需要更严格的条件，就像盖房子先打地基再砌墙，地基结实了不等于能盖摩天大楼。