正交矩阵的列向量必须互相垂直且长度为1，对应的变换才能保持空间形状和长度不变。如果矩阵的列向量不垂直，或者长度不等于1，或者变换后向量的长度或角度改变，就不是正交矩阵或正交变换。比如矩阵[[1,1],[0,1]]的列向量[1,0]和[1,1]内积是1，不垂直；又比如缩放变换的矩阵[[2,0],[0,1]]，列向量长度是2和1，行列式绝对值不是1，都说明不是正交矩阵。

正交矩阵要满足转置等于逆矩阵，也就是A^TA=单位矩阵。假设有一个2x2矩阵A=[[a,b],[c,d]]，如果a²+c²=1，b²+d²=1，且ab+cd=0，才是正交矩阵。比如矩阵[[0.6,0.8],[0.8,-0.6]]，计算a²+c²=0.36+0.64=1，b²+d²=0.64+0.36=1，ab+cd=0.48-0.48=0，符合条件。但若矩阵是[[1,2],[3,4]]，a²+c²=1+9=10≠1，明显不满足。再比如旋转45度的矩阵[[√2/2,√2/2],[√2/2,-√2/2]]，行列式是-1，绝对值是1，所以是正交矩阵。而投影变换的矩阵[[1,0],[0,0]]，行列式是0，列向量长度是1和0，显然不是正交矩阵。这些例子说明，只要不符合列向量单位正交或行列式±1的条件，就不是正交矩阵或变换。