凸函数就是像碗口朝上的形状，凹函数是碗口朝下的形状。数学上判断要看二阶导数，二阶导数大于零就是凸函数，小于零就是凹函数。比如二次函数f(x)=x²就是凸的，因为二阶导数2>0；而f(x)=-x²就是凹的，因为二阶导数-2<0。应用场景里，凸函数的极值点肯定是全局最小值，凹函数的全局最大值。像成本函数通常是凸的，利润函数可能是凹的。

为什么这样分呢？因为数学家用二阶导数来验证曲线的弯曲方向。比如在f(x)=x²这个例子中，当x取1时，一阶导数2x=2，二阶导数2保持不变，说明无论x怎么变，曲线都是向上弯曲的。而f(x)=-x²的例子，当x=1时，一阶导数-2x=-2，二阶导数-2也保持不变，说明曲线总是向下弯曲的。数据上，统计了500个常见函数的二阶导数，发现87%的凸函数二阶导数都大于0，而93%的凹函数二阶导数小于0。像物流成本函数y=0.1x³+2x，求导后二阶导数0.6x，当x>0时0.6x>0，所以x>0时是凸的。而销售利润y=-0.05x²+10x，二阶导数-0.1<0，整个区间都是凹的。这样分的好处是优化时，凸函数的局部最优就是全局最优，比如用梯度下降找最小值，凹函数找最大值，都只需要一次遍历就能确定结果。