连续函数就是线连起来的，中间没断过。比如说你走路从家到学校，每一步都连着走，到了学校那个点肯定能到，不会突然凭空消失。反过来，只要函数在某点没断掉，那这个点附近的值就会慢慢靠近一个确定的数，这个数就是极限值。就像你跑步到终点线，一步停下来的位置就是极限值。

因为连续函数在定义上就要求极限等于函数值，所以极限值肯定存在。比如说多项式函数y=x²，在x=2处连续，那这个点的极限就是4，和函数值一样。但像分段函数y=1/x（x≠0），在x=0处不连续，因为靠近0左边是负无穷，右边是正无穷，两个方向没碰头，所以极限不存在。根据ε-δ定义，连续函数对任意小误差ε，都能找到对应的小范围δ，保证值不会乱跑。比如y=sinx在π/2处连续，当x离π/2越近，sinx离1就越近，误差不超过0.1只要x离π/2小于π/10就行。这种严格约束让极限值锁死在函数值旁边，不会自己跑掉。但像y=sin(1/x)在x=0处不连续，虽然函数值在-1到1之间震荡，但没固定趋向，所以极限不存在。这就说明连续性是保证极限存在的必要条件，反过来不成立，存在极限的函数未必连续。