泰勒展开就像用多项式给函数画个近似图，但只能在某个圆圈里画得准。比如用1+x画e^x，离原点越远越像，超过x=1就明显歪了。这是因为多项式只能学附近的走势，远的地方可能走偏。

为什么是这个样呢？因为多项式只能学有限阶的导数，而导数变化速度不同。比如sinx在x=0附近导数循环±1、0，但到π/2时导数突然变0和±1，这时候多项式就追不上了。实际数据证明，当x超过0.5π时，泰勒展开误差会超过真实值5%，比如x=π/3时误差约0.1，x=2π/3时误差涨到0.8。这说明多项式只能跟得上导数变化快的区域，超过范围就追不上了。就像用直尺量曲线，离直尺太远的地方肯定量不准。